在探讨医院护工没有护工证的处罚问题时，首先需要明确《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十六条的相关规定，该法律条文规定了用人单位可以解除劳动合同的情形，包括但不限于劳动者违反规章制度、严重失职、营私舞弊等情形，如果劳动者被证明不符合录用条件，用人单位也可以解除劳动合同。
根据上述法律规定，如果护工没有护工证，且这一情况属于用人单位可以解除劳动合同的情形之一，那么用人单位可以在与护工签订劳动合同时设定相应的条款，要求护工取得相应的职业资格证书，如果护工未能在合同期限内取得护工证，则用人单位可以按照合同约定，提前通知护工，并依法给予其相应的经济补偿。
具体到处罚措施，用人单位可以根据《劳动合同法》的规定，对未取得护工证的护工进行以下处罚：
1、书面警告：可以向护工发出书面警告，要求其在规定的时间内取得护工证。
2、经济处罚：如果护工逾期仍未取得护工证，可以依据劳动合同中的相关条款，对护工进行罚款或其他经济处罚，以促使其尽快取得护工证。
3、解除合同：如果护工依然未能取得护工证，且严重影响了医院的服务质量或工作效率，用人单位有权依法单方面解除劳动合同，在这种情况下，用人单位应提前三十日以书面形式通知护工，或者支付一个月工资作为经济补偿。
4、追究法律责任：如果护工因无证上岗而造成严重后果，如患者感染、医疗事故等，用人单位除了依法解除劳动合同外，还可能面临行政处罚甚至刑事责任。
5、记录不良记录：用人单位应当将护工无证上岗的情况记入个人档案，并在招聘新员工时作为参考依据，避免类似情况再次发生。
6、培训教育：对于已经取得护工证的护工，用人单位应加强对其职业道德和职业技能的培训教育，确保其能够胜任工作并遵守医院规章制度。
7、加强监管：医院应加强对护工的管理，定期进行考核，确保护工具备相应的专业知识和技能，医院还应建立完善的护工管理制度，明确岗位职责和工作流程，提高护工的工作积极性和责任心。
8、完善激励措施：医院可以通过设立奖励机制，鼓励护工积极学习相关知识和技能，提高自身的专业水平，对于取得护工证的护工，可以给予一定的奖金或晋升机会；对于在工作中表现优秀的护工，可以给予表彰和奖励。
9、加强沟通与协作：医院应加强与其他相关部门的沟通与协作，共同推动护工队伍的建设和发展，通过定期召开会议、分享经验等方式，促进不同部门之间的信息交流和资源共享。
10、关注护工心理健康：护工工作压力大、工作时间长，容易产生职业倦怠和心理问题，医院应关注护工的心理健康状况，提供必要的心理辅导和支持服务，帮助护工调整心态、缓解压力。
医院在处理护工无证上岗的问题时，应综合考虑多种因素，既要严格依法行事，又要注重人文关怀和职业发展，努力营造一个公平、公正、和谐的工作环境。
